Три препринта заявляют о доказательстве гипотезы KLS

Подробно

Что именно утверждают авторы препринтов?

Гипотеза KLS в геометрической формулировке гласит, что изопериметрическая граница выпуклого тела достигается полупространствами с точностью до универсального множителя, не зависящего от размерности. Эквивалентная аналитическая форма требует универсальной границы константы Пуанкаре для изотропных лог-вогнутых распределений.

Zhao Song и Xinzhi Zhang в препринте «An O(1) Bound for the KLS Constant» пишут: «Мы доказываем, что ψ_n ≤ C для универсальной константы C > 0, тем самым разрешая гипотезу KLS». Первая версия работы поступила на arXiv 01.10.2026 с границей O(4^(log* n)), версия 2 с заявленной границей O(1) - 04.10.2026. По версии Microsoft, повторное применение рекурсивного уточнения позволило получить универсальную константу.

В тот же день, 04.10.2026, Bizeul, Klartag и Lehec разместили 32-страничный препринт «Presenting a proof of the Kannan-Lovasz-Simonovits conjecture». Ключевым шагом они называют недавний критерий Song и Zhang, основанный на производных высоких порядков от наклонённых средних. 06.10.2026 появился третий препринт: Krishnakumar Balasubramanian и Shiva Kasiviswanathan также заявили безразмерную границу Пуанкаре и доказательство KLS.

Какую роль в доказательстве сыграл ChatGPT?

Bizeul, Klartag и Lehec прямо пишут, что большинство доказательств и математических идей нашёл ChatGPT. Исключение - идея «suspension», которую предложили сами авторы. Их роль, по собственному описанию, состояла главным образом в понимании этих доказательств и улучшении изложения. Какая именно версия или модель ChatGPT использовалась, в рукописи не указано.

Microsoft описывает участие ИИ в работе Song и Zhang иначе. По данным компании, ИИ-агенты исследовали более 100 возможных подходов, выполняли подробные выводы, помогали готовить рукопись и проводить внутренние проверки. Математическое направление, отбор идей, сборку аргумента и проверку доказательства компания приписывает исследователям. Xinzhi Zhang, старший исследователь Microsoft Research, называет оригинальным вкладом исследователей рекурсивный метод, его повторное применение и доказательство ограниченности накопленных ошибок.

Проверено ли доказательство независимо?

Нет, завершённой независимой проверки пока нет. Все работы остаются препринтами: сведений о принятии в журнал или рецензировании не найдено. Microsoft говорит о нескольких независимых исследователях и независимом подтверждении, но это заявление заинтересованной стороны. Работы не полностью независимы: Bizeul, Klartag и Lehec используют критерий Song и Zhang, а третья работа опирается на близкие идеи.

Hongru Zhao из Школы статистики Университета Миннесоты опубликовал формализацию в Lean 4, созданную при помощи Codex. Первый вариант (KLS500) был завершён примерно за 23 часа 32 минуты, версия KLS15 от 09.10.2026 формализует достаточную границу C_P ≤ 15. Автор сам оговаривает пределы проверки:

«Это локальные проверки системой доказательств и проверяющими агентами, а не внешняя математическая рецензия».

Кроме того, ранняя цепочка в основном следует маршруту Bizeul - Klartag - Lehec с компонентами Song - Zhang и Letwin и не является построчной формализацией всех трёх препринтов.

Критический разбор есть у Pith Review: к первой версии Song - Zhang с границей O(4^(log* n)) там отнеслись как к недоказанной из-за растущего множителя sqrt(d!) в исходной оценке. Применимо ли это замечание к существенно изменённой версии 2, установить не удалось. Microsoft также сообщает о сокращённой версии доказательства, проверенной в Lean, но лишь планирует её опубликовать; публичного артефакта найти не удалось.

Почему гипотеза KLS считается важной и что было раньше?

Ravi Kannan, László Lovász и Miklós Simonovits сформулировали гипотезу в статье «Isoperimetric problems for convex bodies and a localization lemma» в журнале Discrete & Computational Geometry (01.06.1995). Это одна из центральных проблем геометрии высоких размерностей, связанная с концентрацией мер, случайными блужданиями и алгоритмами выборки.

Незадолго до октябрьских работ, 27.07.2026, Brayden Letwin опубликовал препринт «The KLS constant is O(log^(1/4) n)». Он улучшил общую известную границу до O(log^(1/4) n), но она всё ещё зависела от размерности.

Где прочитать работы и нужно ли за них платить?

Все найденные рукописи находятся в открытом доступе на arXiv, плата за чтение не взимается и географических ограничений, в том числе для России, не заявлено. Это научные препринты, а не коммерческий продукт.